Las posibilidades de recreación que hay en los números son ilimitadas. Esa diversión la puede encontrar desde un lego hasta un doctor en matemáticas. El área en donde es más evidente la parte lúdica de las matemáticas es en la Teoría de los Números. Aquí aún los no especialistas han hecho contribuciones importantes a las matemáticas. Ya veremos cómo personajes como Paganini han encontrado algunos resultados importantes. Ya lo decía Francois Le Lionnais: “No hay otro ámbito del pensamiento humano en el que la inteligencia opere con tan frenética intrepidez”. 

Por otra parte, los números han demostrado tener un enorme valor terapéutico para la gente que se encuentra confinada en una cama o recluida en una celda. Los acertijos numéricos o matemáticos son muy populares, y personas que uno podría pensar no tienen nada que ver con esta ciencia, tienen una relación directa con ella. Así los escritores, pintores, escultores y otros artistas trabajan las matemáticas en cada una de sus obras. Andreas Speizer decía: “Allí donde hay número hay belleza y estamos en la vecindad inmediata del arte”. Y Bertrand Russell concordaba: “El verdadero espíritu de alegría, de exaltación, el sentimiento de ser más que un hombre, que son la piedra de toque de la excelencia más elevada, se hallan en las Matemáticas como en la Poesía”. 

Estas características de las matemáticas ya habían sido descubiertas por los pitagóricos, quienes llegaron incluso a hacer una rara mezcla de misticismo y matemáticas muy cercana a una religión. Y no era para menos. Ellos encontraron muchas de las propiedades de los números. Propiedades casi mágicas que los asombraron y nos siguen asombrando. Ya hablaremos de algunas de ellas, pero iniciemos nuestro recorrido relacionando los números con las letras. 

Al igual que las letras, los símbolos de numeración pueden formar palíndromos; en este caso se les conoce con el nombre de capicúas. En los países anglosajones se utiliza el mismo término (palíndromo) para series de números y letras que son “invertibles” en el eje izquierda-derecha. 

Desechando los casos triviales, los numerales del 0 al 9, el primer capicúa es el número 11. Este número tiene una curiosa propiedad: puede generar palíndromos a partir de sus potencias: 

11¹ = 11
11² = 121
11³ = 1331
11⁴ = 14641

Encontramos, además, que estos capicúas están formados con los dígitos de las filas sucesivas del Triángulo de Pascal. Uno podría suponer que la quinta potencia de 11 también sería palíndromo, pero no lo es. No obstante sí son capicúas los cuadrados de 1, 11, 111, 1111, 11111, etcétera.

1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321

Otra manera de obtener capicúas es tomando un número, invirtiéndolo y sumando las dos cantidades. Repetir esta operación hasta conseguir el capicúa. Este truco siempre funciona si todos los dígitos del número escogido son menores que 5, o si la suma del primero y el último, del segundo y el penúltimo, etc., no es mayor que 9. Por ejemplo:

3412
2143
5555

 

4413
3144
7557

 

3802
2083
5885

 

1373                                                     5104
3731          invirtiendo 5104 y sumando       4015
5104                                                     9119

Estos son casos particulares de la Conjetura del Capicúa, que dice que si sumamos un número cualquiera con su inverso y repetimos esta operación varias veces, tarde o temprano obtendremos un capicúa. 

Un ejemplo con un número de dos dígitos: 

    95
__59
  154

 

  154
_451
  605

 

  605
_506
1111

Para el caso particular de los números de dos dígitos cuya suma es menor de 100, se obtiene el capicúa en tan sólo un paso. 

En el siglo pasado se pensaba que la conjetura resultaría cierta, pero nadie había logrado demostrarla, hasta que en 1967 Charles W Trigg encontró 249 números menores a 10 mil que no daban capicúas después de 100 iteraciones. Fred Gruenberger extendió la lista a 5 mil 996 enteros menores a 100 mil. Diez años después Heiko Harborth demostró que la conjetura es falsa en todas las anotaciones numéricas con bases en potencias de 2.

ALGUNOS FAMILIARES CERCANOS: LOS PRIMOS 

Un número primo es cualquier entero que sólo es divisible entre 1 y sí mismo. Existen otros números más “raros”: los primos capicúas, que son capicúas divisibles entre 1 y sí mismos. Se cree que existen infinitos primos capicúas. Los primos invertibles no son capicúas, pero sí son primos al invertirlos. También hay pares de primos capicúas, que son parejas de primos capicúas sólo diferentes por el dígito central: 

2                      3
181                  191
373                  383
787                  797
919                  929
10501              10601
11311              11411
12721              12821
13831              13931
15451              15551
16561              16661
30103              30203

El número 836 forma un extraño y hermoso capicúa si es elevado al cuadrado, cuyo resultado da 698896, que es el mínimo de los cuadrados capicúas formado por un número par de cifras y que además –¡atención!– sigue siendo palindrómico al volverlo boca abajo. 

Los pitagóricos descubrieron los números perfectos y los cordiales. Los primeros son los que resultan de la suma de sus divisores exactos, incluyendo el 1, pero excluyendo al número. El 6 es el primer número perfecto; sus divisores exactos son 1, 2 y 3 y su suma da 6. El siguiente número perfecto es el 28; sus divisores exactos son, 1, 2, 4, 7 y 14. Nicomaco encontró que, además del 6 y el 28, el 496 y el 8 mil 128 son perfectos 

Euclides se ocupó de estos números en un capítulo de los Elementos. Ahí incluye una prueba del teorema “si 2^n-1 es un número primo, entonces 2^n-1 (2ⁿ  – 1) es perfecto”. Todos los números dados por esta formula deben ser pares. El siguiente después de 8 mil 128 es el 33 millones 550 mil 336. Hasta el momento no se sabe si existen números perfectos impares. 

Los números cordiales o amigables provienen de una anécdota de Pitágoras. Se dice que cuando le pidieron que describiera las características de un amigo lo hizo en estos términos: “es el otro yo, como 220 y el 284”. ¿Qué tienen de particular estos números? Cada uno de ellos es la suma de los divisores exactos del otro. Los divisores exactos del 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos es 284. De igual manera, los divisores exactos del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, y su suma es 220. En la Edad Media se les atribuyeron propiedades mágicas. Se fabricaban talismanes que eran intercambiados entre los amigos. 

Ni los griegos ni los matemáticos de la Edad Media fueron capaces de descubrir otro par amigable. Fue hasta 1636 que Fermat, después de estudiar los tratados de Tabit ibn-Qorra (siglo IX), calculó el segundo par: 17 mil 296 y 18 mil 416. Dos años después Descartes encontró el tercero: 9 millones 363 mil 584 y 9 millones 437 mil 056. Euler no podía ser menos y él solo amplió la lista hasta 60 pares. Curiosamente no fue un matemático, sino un músico, Nicolo Paganini, a la edad de 16 años, quien encontró un nuevo par: mil 184 y mil 210, por el método duro de ensayo y error.

PIRÁMIDES NUMÉRICAS 

Ya hemos visto aquí una pirámide formada por las potencias de dos de repetunos. Pero existen muchas otras. Los números que anteceden y preceden al 10 son muy interesantes. El 9 en particular presenta estas características: 

        9² = 81
      99² = 9801
    999² = 998001
  9999² = 99980001

Sin hacer el cálculo podemos inferir que:

99999² = 9999800001

Es decir, sólo añadimos otro 9 al comienzo del número e insertamos otro 0 antes del 1 final. Algo similar ocurre con los cubos de números consistentes de nueves: 

       9³ = 729
     99³ = 970299
   999³ = 997002999
9999³ = 999700029999

De aquí concluimos que:

99999³ = 999970000299999

Siguiendo con el 9 podemos construir otra pirámide:

              1 X 9 + 2 = 11
            12 X 9 + 3 = 111
          123 X 9 + 4 = 1111
        1234 X 9 + 5 = 11111
      12345 X 9 + 6 = 111111
    123456 X 9 + 7 = 1111111
  1234567 X 9 + 8 = 11111111
12345678 X 9 + 9 = 111111111

Para comprender estar “rara” singularidad, tomemos como ejemplo cualquiera de las filas intermedias de nuestra pirámide numérica: 123456 X 9 + 7. En lugar de la multiplicación por 9 se puede multiplicar por (10 – 1), es decir, agregar el cero y restar el multiplicando: 123456 X 9 + 7 = 1234560 + 7 -123456 = 1111111. De una forma similar podemos explicar las siguientes pirámides:

                1 X 8 + 1 = 9
              12 X 8 + 2 = 98
            123 X 8 + 3 = 987
          1234 X 8 + 4 = 9876
        12345 X 8 + 5 = 98765
      123456 X 8 + 6 = 987654
    1234567 X 8 + 7 = 9876543
  12345678 X 8 + 8 = 98765432
123456789 X 8 + 9 = 987654321

              9 X 9 + 7 = 88
            98 X 9 + 6 = 888
          987 X 9 + 5 = 8888
        9876 X 9 + 4 = 88888
      98765 X 9 + 3 = 888888
    987654 X 9 + 2 = 8888888
  9876543 X 9 + 1 = 88888888
98765432 X 9 + 0 = 888888888

LOS CICLOS 

Un número cíclico es un entero de n cifras que presenta la insólita característica de que al multiplicarlo por cualquiera de los números comprendidos entre 1 y n, ambos inclusive, el producto tiene n cifras, las mismas que el multiplicando primitivo, y en el mismo orden cíclico. 

El menor número cíclico conocido es el 142857. Veamos sus primeros 6 productos:

1 X 142857 = 142857
2 X 142857 = 285714
3 X 142857 = 428571
4 X 142857 = 571428
5 X 142857 = 714285
6 X 142857 = 857142

El número 142857 proviene de la fracción recíproca de 7, o 1/7, cuyo resultado es 0.142857142857… Aquí encontramos que las cifras decimales que se van repitiendo sistemática e indefinidamente, llamadas repetendos, son una menos de 7. De aquí podemos deducir un algoritmo para descubrir otros números cíclicos mayores: estos números pueden generarse tomando el recíproco de un número primo p, si el decimal producido se repite, su período p – 1 será un número cíclico. 

El siguiente número primo que genera un número cíclico es el 17. Su periodo cíclico es 0.0588235294117647, que consta de 16 cifras (una menos que 17, denominador). Si multiplicamos este número por cualquier otro comprendido entre 1 y 16, ambos inclusive, se reproducen en el producto los 16 dígitos anteriores, y en el mismo orden cíclico. Entre los números primos menores que 100 hay exactamente nueve que generan números cíclicos: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97. Durante el siglo XIX se descubrieron otros muchos números cíclicos. 

Al multiplicar un número cíclico por el primo que lo engendró, el producto es siempre una hilera de nueves. Esto se puede comprender si analizamos la siguiente secuencia:

1/9 = 0.111111… o 0.1
2/9 = 0.222222… o 0.2
3/9 = 0.333333… o 0.3
4/9 = 0.444444… o 0.4
5/9 = 0.555555… o 0.5
6/9 = 0.666666… o 0.6
7/9 = 0.777777… o 0.7
8/9 = 0.888888… o 0.8
9/9 = 0.999999… o 0.9 o 1.0

La rayita debajo de los números indica que estos se repiten hasta el infinito. De aquí que 0.9 es el mismo número que 1. Ahora regresemos al cíclico 142857, que ya dijimos que proviene de 1/7 = 0.142857142857… Al multiplicar 0.142857142857 por 7 obtenemos: 

0.9999999999… 

Que es prácticamente 1, o 1/7 X 7 = 1. 

Todavía más curiosa es la propiedad de que al partir por la mitad el bloque de cifras que componen el número cíclico, los dos números resultantes dan al sumarlos una hilera de nueves. Por ejemplo, 142 + 857 = 999. Tan sorprendente propiedad es un caso particular del Teorema de Midy (Dickson E. Midy, quien lo dio a conocer en Francia, en 1836) que dice: “Si el período de la expresión decimal de a/p (siendo p un primo) consta de un número par de dígitos, entonces, la suma de los números obtenidos al escindir el período en dos bloques iguales será una hilera de nueves”. 

La secuencia cíclica del número 142857 la podemos obtener si sumamos este número en diferentes órdenes:

142857
428571
571428

 

142857
714285
857142

 

285714
571428
857142

Además, esa misma serie de cifras, en idéntica secuencia, la obtenemos también en la sustracción:

  428571
-142857
  285714

 

  571428
-285714
  285714

 

  714285
-142857
  571428

Martin Gardner se pregunta “¿qué ocurre al multiplicar el número 142857 por números mayores que 7?”. Y él mismo responde: “El resultado es, extrañamente, la misma secuencia un poco modificada: 

142857 X 8 = 1142856 

“En este resultado únicamente hay antepuesta una unidad, y la última cifra está disminuida por una unidad. Si sumáramos el 1 que está al principio con el 6 del final obtendríamos el 7 faltante de la secuencia 142857. Podemos seguir este mismo procedimiento para los siguientes productos: 

142857 X 9   = 1285713
142857 X 10 = 1428570
142857 X 11 = 1571427 

“Si el multiplicador es múltiplo de 7, el resultado es igual al número 999999 o a alguna variante de él, tal como en el caso de: 

142857 X 28 = 3999996 

“Y en este caso también podemos sumar el 3 del inicio con el 6 final para obtener 9. 

“Los números cíclicos tienen otras muchas extrañas propiedades. Tan solo mencionaré otra más. Todo número cíclico puede ser engendrado de multitud de formas como suma de una progresión geométrica infinita, escrita en diagonal. Por ejemplo, si tomamos el número primo 7 y lo vamos duplicando en cada paso, escribiendo los números resultantes de forma que sobresalgan cada vez dos cifras hacia la derecha, y finalmente sumamos de izquierda a derecha, el resultado es la secuencia infinita del 142857. Veamos:” 

7
  14
      28
          56
            112
                224
                    448
                        896
                              .
                                  .
________________________.
7142857142857 …

Dos reflexiones para finalizar. Viendo las verdaderas maravillas de la naturaleza, no entendemos cómo hay personas que se engañan con las falsas maravillas de lo paranormal.  

Sugerimos al lector que se atreva a jugar con las matemáticas. Ya lo decía Novalis: “El verdadero matemático es entusiasta per se. Sin entusiasmo no hay Matemáticas”. ¿Quién sabe? Tal vez usted, como Paganini, pueda encontrar alguna particularidad en los números que constituya una contribución notable a las Matemáticas.

- - - 

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