Gerald Stanley Hawkins falleció el 26 de mayo de 2003 mientras pilotaba aeromodelos radiocontrolados en su hacienda de Massachusetts, Estados Unidos, a los 75 años de edad. Ciertamente no fue un científico cualquiera. Nacido en Inglaterra, formado en matemáticas y física, se doctoró en radioastronomía bajo la tutela de Sir Bernard Lowell. En 1954 se mudó a los Estados Unidos, en donde realizó investigaciones en los observatorios Harvard-Smithsonian, fue jefe del departamento de astronomía de la Universidad de Boston y fue director de la Dickson College en Pensilvania, hasta su retiro en 1989 (1). 

Hawkins se hizo famoso en los años 60 cuando estudió la formación neolítica de Stonehenge, en Inglaterra. Pionero. Utilizó computadoras para el cálculo de los alineamientos y defendió que Stonehenge era un calendario astronómico neolítico, desbancando las vagas y dudosas ideas existentes por aquel entonces sobre la supuesta relación con los druidas o con el mago Merlín (!). Su trabajo, “Stonehenge decoded” (Stonehenge decodificado), fue publicado  por la revista “Nature” en 1963 y luego en un libro del mismo nombre en 1965. Hoy, más de tres décadas después, gran parte de él fue revisado, pero Hawkins es considerado como uno de los principales impulsores de la ciencia entonces naciente de la “arqueoastronomía”. 

En los años siguientes, el doctor investigaría las líneas de Nazca, pero sin obtener grandes resultados. Al final de los 80 se involucraría en el estudio de los círculos en las plantaciones de Inglaterra, y sus descubrimientos sobre eso serán el tema de este artículo. En conjunto, son probablemente lo más cercano que se ha llegado de evidenciar algo científicamente intrigante detrás del fenómeno de los círculos ingleses. 

EVIDENCIA CIRCULAR 

El trabajo de Gerald Hawkins con los círculos ingleses comenzó a través del libro “Circular evidence” (Phanes Press, 1989) de Colin Andrews y Patrick Delgado, dos de los primeros y  principales investigadores del tema. Hawkins realizó sus estudios en una época en que los círculos ingleses todavía eran círculos e ingleses, pues hoy ya incluyen diseños de rostros humanos y de extraterrestres y se han presentado en diversas partes del mundo (2). 

El tema le llamó la atención, y a través del libro pasó a analizar “estadísticamente” las medidas de los círculos, esto es, analizar razones y relaciones entre las longitudes, diámetros, anchuras o áreas de ciertas partes de formaciones en cereales. Para su sorpresa, descubrió en repetidas ocasiones, entre tales medidas, números enteros y razones como 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2... Pueden parecer razones aleatorias, pero son nada menos que razones que constituyen justamente la escala diatónica. Ésta es la escala para las notas musicales que conocemos (Do, Re, Mi, Fa, Sol...), y según Hawkins indicaba algo sobre la inteligencia de sus autores. La probabilidad de que tales razones surgiesen fortuitamente, siempre según él, era de 1 en 25 mil (3). 

Como si no bastase, tiempo después descubrió que algunos círculos serían demostraciones geométricas de teoremas matemáticos. Los teoremas son proposiciones a ser demostradas, y el más famoso es el teorema de Pitágoras (“la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”). El teorema de Pitágoras es conocido desde hace miles de años y se enseña prácticamente a toda persona alfabetizada, no obstante los teoremas indicados en algunos círculos serían teoremas euclidianos que no son tan conocidos por el ciudadano común. 

Todo esto culminaría cuando Hawkins notó que los cuatro teoremas indicados geométricamente en los círculos eran casos especiales de un quinto teorema general, desconocido hasta entonces. En 1992 el problema fue expuesto en la revista “Science News” como un desafío a los 267 mil lectores (4), pero nadie dedujo el quinto teorema y su demostración. 

Gerald Hawkins había encontrado un “perfil intelectual” de los autores de los círculos, y no parecía muy compatible con el de simples bromistas como Douglas Bower y David Chorley, que poco antes habían sido anunciados como autores de buena parte de los círculos (5). Hawkins les escribió preguntando por qué habían utilizado la escala diatónica, sin recibir contestación alguna. La pregunta que se hizo fue: el “perfil intelectual” de los autores de círculos indicaba un conocimiento de la escala diatónica, teoremas euclidianos e indicación de teoremas desconocidos, ¿serían Doug y Dave quienes realmente estaban detrás de todo esto? 

ALEATORIEDAD 

El valor de 1/25000 para la probabilidad de que razones diatónicas surgiesen aleatoriamente, es impresionante. Lo cierto es que los círculos ingleses no son tan aleatorios en su diseño: en la época en que el profesor hizo su estudio, siempre involucraban círculos y semicírculos intercalados, generalmente en disposición de triángulos equiláteros y hexágonos, con alguna variación ocasional incluyendo cuadrados, pentágonos y otros polígonos regulares. El reaprovechamiento de medidas como el radio del círculo principal es algo muy común, lo que genera justamente la profusión de triángulos equiláteros y hexágonos como base de diseños, y hay una explicación mucho más simple para eso. Es el reaprovechamiento de una cuerda usada para trazar el círculo principal. Déle un compás a un niño y él terminará reaprovechando una misma abertura varias veces, generando diseños muy similares. 

Aparte de eso, es importante notar que Hawkins no encontró sólo razones diatónicas. Según él, encontró repetidas veces tales razones en doce de 19 círculos con “medidas perfeccionadas” del libro “Circular evidence”. Pero entre estos doce círculos con razones diatónicas, diversas proporciones entre otras medidas equivalían a razones no diatónicas. O sea, el hecho es que en lugar de que todos los círculos presentasen sólo razones diatónicas entre algunas de sus medidas, ¡todos ellos sí contenían razones no diatónicas! 

Puede parecer una cuestión de punto de vista, y de cierta forma lo es. Pero evaluarla refuerza, de manera evidente, que los círculos ingleses no son completamente aleatorios, y el encuentro de razones diatónicas entre algunas de sus medidas, y no en otras, no debe ser extraordinario por sí mismo. Curiosamente, el propio profesor Hawkins proveería otra evidencia de esto en los propios teoremas que encontró en los círculos. 

TEOREMAS 

Cuatro de los teoremas identificados son teoremas euclidianos. El quinto –un teorema general del cual se pueden derivar los cuatro primeros– fue deducido por Hawkins, siendo desconocido hasta entonces. Los teoremas son: (6) 

Teorema I 

Sean tres círculos iguales que comparten una tangente común y forman un triángulo equilátero. Si un círculo es trazado a través del centro de los tres círculos, la razón entre el diámetro de este círculo y el diámetro de cada círculo menor original es diatónica: 4/3. 

Teorema II 

Para un triángulo equilátero, la razón entre las áreas del círculo circunscrito (externo) e inscrito (interno) es de 4:1, que también puede considerarse parte de la escala diatónica. El área del anillo entre los círculos es tres veces la del círculo inscrito. 

Teorema III 

Para un cuadrado, la razón de áreas de los círculos circunscrito e inscrito es de 2:1, diatónica. 

Teorema IV 

Para un hexágono regular, la razón entre las áreas entre los círculos circunscrito e inscrito es de 4:3, diatónica. 

Teorema V 

Los teoremas I a IV son casos especiales de un teorema general que involucra triángulos y varios círculos concéntricos que tocan sus lados y vértices. Triángulos diferentes generan teoremas diferentes. 

Un corolario curioso: lo que los cuatro primeros teoremas demuestran es justamente que determinadas construcciones simples que involucran triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos ¡inevitablemente deben contener razones diatónicas! 

Si parece extraño, esto probablemente ocurre porque aquí subyace otra cuestión de punto de vista. Para Hawkins las razones diatónicas no son solamente consecuencia de formas geométricas simples, como demuestran los teoremas. Hawkins vio la cuestión de forma inversa: los teoremas euclidianos relacionados a las razones diatónicas eran intencionales desde el principio. Después de todo, las demostraciones geométricas de teoremas euclidianos no surgen al azar y sin intención. ¿O sí? 

LADRILLOS PITAGÓRICOS 

Para ilustrar hasta qué punto diseños geométricos simples pueden representar de forma no intencional teoremas matemáticos, podemos regresar a un teorema más conocido, el de Pitágoras. Cuenta una anécdota (7) que Pitágoras habría deducido su teorema observando la colocación de azulejos similares a los que están al lado. 

Son sólo losetas compuestas de triángulos, pero si uno ve bien todos son triángulos rectos, y los compuestos se pueden formar de otros triángulos rectos, como el destacado en amarillo. Las áreas de los pequeños cuadrados que pueden ser formados a partir de los catetos de este triángulo rectángulo (con ocho triángulos) e igual al área del cuadrado mayor que puede ser formado por la hipotenusa. Pitágoras y sus pies. Aún así, nadie diría que los que trabajan azulejos deberían conocer el teorema de Pitágoras. 

El azulejo que vimos puede ser una demostración geométrica involuntaria del teorema de Pitágoras, pero a su vez no es el único y ni el más interesante. Veamos este otro. 

Aquí es más difícil observar el teorema de Pitágoras, pero se demuestra mejor.

El cuadrado azul es el cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo rojo. Los cuadrados verde y púrpura son los cuadrados de los catetos, y se puede ver que, reorganizándolos, se puede formar el cuadrado azul. “La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. 

Los azulejos pueden ser bellas pruebas del teorema de Pitágoras, pero sus autores no tenían la menor intención de construir pisos matemáticos. De la misma forma los autores de los círculos ingleses que según Hawkins demuestran teoremas euclidianos muy probablemente no tenían idea de que tales teoremas podrían ser encontrados en sus obras. Pero integraron triángulos, cuadrados y hexágonos en diseños geométricos simples. ¿Es realmente preciso saber quién fue Euclides o conocer sus “Elementos” para diseñar un círculo dentro de un triángulo equilátero inscrito en otro círculo? ¿O un cuadrado o un hexágono? Nuevamente, cualquier niño con regla y compás en mano podrá comprobar que no. 

EN LOS OJOS DE QUIEN VE 

A primera vista el trabajo de Gerald Hawkins sobre los círculos puede parecer sorprendente. Teoremas euclidianos, razones diatónicas, todo apuntando a un “perfil intelectual” razonablemente sofisticado para los autores de círculos. Sin embargo, resulta que el perfil intelectual que encontró Hawkins al identificar teoremas en simples formaciones geométricas de círculos ingleses fue su propio perfil. 

Ni los mismos autores de tales círculos conocían o pensaban en integrar dichos teoremas en sus obras, que nada más eran círculos con polígonos regulares simples. Fue Hawkins quien, a semejanza de la anécdota de Pitágoras, demostró su perspicacia al ver teoremas insospechados en diseño inocentes y sin significado intencional, como azulejos en el suelo. El perfil intelectual de Hawkins era sofisticado, el de un profesor que podía descubrir un teorema euclidiano desconocido para todos. Una interpretación sobria de la evidencia disponible sugiere que el quinto teorema no indica la inteligencia de los autores de círculos, sino la del propio Gerald Hawkins quien, sin embargo, no pudo resistir la tentación de descubrir un enigma que en verdad él mismo creo.

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NOTAS 

(1) Gerald Hawkins, Telegraph, disponible on-line en http://www.opinion.telegraph.co.uk.

(2) Entre los diversos ejemplos de pictogramas recientes, está la ya famosa cara alien de 2002 (ver un texto especulativo de Paul Vigay en http://www.cropcircleresearch.com/articles/alienface.html). Para círculos fuera de Inglaterra, apenas un ejemplo: Canadian Crop Circle Research Network (http://www.cccrn.ca/intro.htm). Brasil ya contó con algunas formaciones, aunque no muy sofisticadas.

(3) Entrevista a Monte Leach, Share International en 1992, disponible on-line en http://www.mcn.org/1/Miracles/sphere.html.

(4) “Euclid's crop circles”. “Science News” No. 141. 1 de febrero de 1992:76-77.

(5) Para una buena descripción on-line de la relación de Douglas Bower y David Chorley con los círculos, ver Dios! on-line en http://www.dios.com.ar/notas1/biografias/raras_avis/doug/
doug1.htm

(6) “Crop circles: Theorems in wheat fields”. “Science News” No. 150. 12 de octubre de 1996:239. Disponible on-line en http://www.sciencenews.org/sn_arch/10_12_96/note1.htm

(7) La anécdota es sólo ilustrativa. El teorema de Pitágoras ya era conocido en Babilonia y Egipto Antiguo, mucho antes de que el griego Pitágoras pisara sobre un azulejo.